Modulcode:	MS0402
Englische Bezeichnung:	Orders and Lattices
Modulverantwortliche(r):	Prof. Dr. Rudolf Berghammer
Turnus:	unregelmäßig (WS08/09 WS09/10 SS11 WS12/13 SS14 SS16)
Präsenzzeiten:	4V 2Ü
ECTS:	8
Workload:	240 Std.
Dauer:	ein Semester
Modulkategorien:	TI (MSc Inf (15)) WI (MSc Inf (15)) TG (MSc Inf) MV (MSc Inf)
Lehrsprache:	Deutsch
Voraussetzungen:

Kurzfassung:

Es gibt wohl kaum ein mathematisches Konzept, das in so vielen Bereichen von Naturwissenschaft und Technik zur Anwendung kommt wie das einer Ordnung. In der Informatik treten Ordnungen beispielsweise auf bei Ersetzungssystemen und operationeller Semantik (noethersche Ordnungen), denotationeller Semantik (vollst"andige partielle Ordnungen), logischen Schaltungen (Boolesche Verb"ande), Programmanalyse (vollst"andige Verb"ande) und Algorithmik (Fixpunkttheorie). Auch Mathematiker verwenden Ordnungen fortw"ahrend. Ohne das auf sie aufbauende Prinzip der noetherschen Induktion und ohne das ebenfalls spezielle Ordnungen voraussetzende Zornsche Lemma ist beispielsweise moderne Mathematik undenkbar. In den Ingenieurwissenschaften werden Ordnungen z.B. bei Me"sverfahren und der Aufdeckung von Pr"aferenzstrukturen verwendet.

Diese Vorlesung stellt eine Einführung in das Gebiet der Ordnungen und Verbänden dar und gibt verschiedene Anwendungen (hauptsächlich aus der Informatik) an.

Lernziele:

Normalerweise werden in Informatik- und Mathematikvorlesungen ordnungs- und verbandstheoretische Begriffe nur soweit eingef"uhrt, wie es f"ur die speziellen Anwendungsbereiche notwendig ist. Dies erfolgt in der Regel auch in sehr knapper Weise und unter Beschr"ankung auf sehr spezielle Klassen. So ein Zugang ist nicht dazu geeignet, dem fundamentalen Charakter dieser Begriffe gerecht zu werden. Ziel der Vorlesung ist es, eine einheltliche und geschlossene Einf"uhrung in die wichtigsten Konzepte der Ordnungs- und Verbandstheorie zu geben, diese durch zahlreiche Beispiele und Gegenbeispiele zu verdeutlichen, die f"ur das Gebiet typischen Denk- und Schlu"sweisen zu vermitteln und wichtige Anwendungen in Informatik und Mathematik anhand von ausgew"ahlten Beispielen zu demonstrieren.

Lehrinhalte:

Nach einer kurzen Einführung werden zuerst die Grundlagen der Ordnungs- und Verbandstheorie vorgestellt. Darauf aufbauend werden dann spezielle Klassen von Ordnungen und Verbänden diskutiert, die wichtigsten Fixpunktsätze bewiesen und anhand von einigen exemplarischen Anwendungen vertieft, Vervollständigungs- und Darstellbarkeitsfragen geklärt und transfinite Zahlen mit dem Auswahlaxiom und wichtigen Folgerungen (genauer: dazu äquovalenten Formulierungen, wie etwa das Lemma von M. Zorn) und Anwendungen präsentiert. Ein Abschnitt über einige spezielle Anwendungen von Ordnungen und Verbänden in der Informatik schließt die Vorlesung ab.

Weitere Voraussetzungen:

Solide Kenntnisse in den mathematischen Grundlagen (Mengen, Relationen, Funktionen, Logik und Beweistechniken) und Interesse an Mathematik und deren Anwendungen in der Informatik.

Prüfungsleistung:

Mündliche Prüfung am Semesterende.

Lehr- und Lernmethoden:

Verwendbarkeit:

Literatur:

• H. Gericke, Theorie der Verbände, 2. Auflage, Bibliographisches Institut, 1967.
• H. Hermes, Einf"uhrung in die Verbandstheorie, 2. Auflage, Springer Verlag, 1967.
• G. Birkhoff, Latice Theory, 3. Auflage, Amer. Math. Soc, 1967.
• M. Erne, Einf"uhrung in die Ordnungstheorie, Bibliographisches Institut, 1982.
• R. Freese, J. Jezek, J.B. Nation, Free Latices, Amer. Math. Soc, 1995.
• B.A. Davey, H.A. Priestley, Introduction to Lattices and Orders, 2. Auflage, Cambridge University Press, 2002.
• R. Berghammer, Ordnungen, Verbände und Relationen mit Anwendungen, Vieweg-Teubner Verlag, 2008.

Verweise:

Kommentar: